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Somme d'exponentielles concernant la fonction de Möbius

Au cours de mon Master 2, en 2007, j'ai eu l'occasion de considérer une somme d'exponentielles concernant la fonction de Möbius:

$$S(x, \theta) = \sum_{n \leq x} \mu(n) e^{2 i \pi n \theta}.$$

En suivant Maier et Sankaranarayanan, il s'agissait de comparer plusieurs preuves du résultat suivant.

Théorème. Soit $\theta$ un nombre irrationnel de type $1$. Alors pour tout $\varepsilon > 0$, on a $$S(x,\theta) \ll x^{4/5 + \varepsilon},$$

où le type d'un irrationnel $\theta$ est défini par

$$\eta = \sup \{\delta > 0 : \liminf_{q \rightarrow \infty} q^\delta \| q \theta \| = 0 \}.$$

et $\| x \|$ est la distance d'un réel $x$ au plus proche entier.

Le mémoire Sur une somme d'exponentielles concernant la fonction de Möbius contient la démonstration de ce théorème ainsi qu'un contenu (très) introductif aux caractères de Dirichlet, fonctions $L$.