A few thingz


Joseph Basquin


01/08/2021

On random multiplicative functions

We consider a sequence $(f(p))_{p \ prime}$ of independent random variables taking values ±1 with probability 1/2, and extend $f$ to a multiplicative arithmetic function defined on the squarefree integers.

Finding an upper bound for $M(x) = \sum_{n \leq x} f(x)$ has been long studied. Wintner proved in 1944 that $M(x) \ll x^{1/2 + \varepsilon}$ a.e., later improved by Erdös who establishes $M(x) \ll \sqrt{x} (\log x)^c$. Halász then obtains in 1983 the upper bound $M(x) \ll \sqrt{x} e^{c \sqrt{(\log\log x)(\log\log \log x)}}$ a.e. In a preliminary work by Lau, Tenenbaum, Wu (improved since then), the bound $M(x) \ll \sqrt{x} (\log \log x)^{5/2 + \varepsilon}$ has been obtained.

The use of martingale methods, a generalization of the Doob inequality (Hájek-Renyi inequality) and other techniques allows to obtain

$$M(x) \ll \sqrt{x} (\log \log x)^{2 + \varepsilon} \qquad\textrm{a.e.}$$

This was the goal of my work Sommes friables de fonctions multiplicatives aléatoires published in Acta Arith., 2012, as well as obtaining estimations of the type $\Psi_f(x,y)\ll \Psi(x,y)^{1/2+\varepsilon}$ on y-smooth (a.k.a. friable) integers ≤ x.

Is it possible to improve the exponent $2+\varepsilon$ further? The question remains open (the exponent $3/2 + \varepsilon$ had been claimed – but then removed in an updated version – in a more recent article).

Somme d'exponentielles concernant la fonction de Möbius

Au cours de mon Master 2, en 2007, j'ai eu l'occasion de considérer une somme d'exponentielles concernant la fonction de Möbius:

$$S(x, \theta) = \sum_{n \leq x} \mu(n) e^{2 i \pi n \theta}.$$

En suivant Maier et Sankaranarayanan, il s'agissait de comparer plusieurs preuves du résultat suivant.

Théorème. Soit $\theta$ un nombre irrationnel de type $1$. Alors pour tout $\varepsilon > 0$, on a $$S(x,\theta) \ll x^{4/5 + \varepsilon},$$

où le type d'un irrationnel $\theta$ est défini par

$$\eta = \sup \{\delta > 0 : \liminf_{q \rightarrow \infty} q^\delta \| q \theta \| = 0 \}.$$

et $\| x \|$ est la distance d'un réel $x$ au plus proche entier.

Le mémoire Sur une somme d'exponentielles concernant la fonction de Möbius contient la démonstration de ce théorème ainsi qu'un contenu (très) introductif aux caractères de Dirichlet, fonctions $L$.

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